Показал в регистратуре полис с телефона, а в соседнем окне требуют бумажный

Обычно сейчас достаточно номера полиса, бумажный бланк не обязателен, данные всё равно проверяют по базе. Но привычки у людей на окне разные, и некоторым так спокойнее, особенно если база в этот момент долго думает. Чтобы не спорить каждый раз, можно получить выписку о полисе на Госуслугах или в своей страховой, распечатать и носить с паспортом. А если бумажный полис хочется именно на руках, его можно попросить в офисе страховой. Это я в общих словах, как обычно устроено, а точно пусть скажут в вашей поликлинике, можно спросить у старшего регистратора.